Marzo

"Lo crucial no es que se cometan errores, sino que estos se corrijan y se siga adelante con la tarea esencial". 

(DONALD RUMSFELD)

Resumen Quinta Semana

Clase # 09

Martes  4 de marzo del 2014

No hubo asistencia por feriado de carnaval.

Clase # 10

Viernes  7 de marzo del 2014


EJERCICIOS DE DERIVADAS CON COMPLEJOS


1. Sea la función:

2. Exprese u en la forma w = f(z)

FUNCIONES ANALÍTICAS:

f(z) es analítica en z0 si solo si f es derivable para todo z de algun disco D: (z - z0 ) < r

PROPIEDADES:

       1. Si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) analitica en algun dominio, entonces u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchi-Riemann para todo (x,y) del dominio.

2. Si u(x,y) y v(x,y) y sus primeras derivadas parciales son continuas y ademas cumplen las E.C.R, la funcion f(z) es analitica.

3. Sea f(z) analítica en un cierto dominio, entonces u y v son armónicas, es decir cumplen:

Resumen Sexta Semana

Clase # 11

Martes  11 de marzo del 2014

EJERCICIOS DE FUNCIONES ANALÍTICAS:
1. Demuestre que es analítica la siguiente función:

f(z) es analítica porque el punto critico no es elemento del disco.

2. Demuestre que f(z) es analítica.

RESUMEN DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES:

Clase # 12

Viernes  14 de marzo del 2014

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO:

Para la resolución de las integrales dentro de los números complejos se aplican las reglas y propiedades de la integración en funciones reales. Salvo en funciones eminentemente complejas como el conjugado de z, en las cuales se debe aplicar propiedades y teoremas específicos.

En el caso de integrales indefinidas se presentan ciertas diferencias debido a :

1. Los números reales se presentan en el eje de los x y los integrales se tienen como una aproximación de la suma de Riemann.

2. Los números complejos se representan en el plano complejo, lo cual nos lleva a considerar integrales de linea sobre una curva C sobre el plano complejo en lugar de las sumas de Riemann.

3. En las integrales cerradas se presentan propiedades novedosas y que solo se cumplen para las funciones de variables compleja, asi como por ejemplo la integral de Cauchy.

INTEGRALES INDEFINIDAS

En el caso de que f(z) tenga una anti derivada, se puede evaluar la integral indefinida.

Donde: C e C , es la constante de integración

Ejemplo:

CURVAS EN EL PLANO COMPLEJO:

Una curva en el plano complejo, es el conju7nto de puntos (x,y) elemento de RxR, tales que:

Ecuación de la Curva Parametrizada.

donde x y y están en función de t y son funciones continuas.

GENERALIDADES:

• z(a) y z(b) son los puntos extremos de la curva.
• si z(a) y z(b) coinciden, se dice que la curva es una curva cerrada.
• El sentido positivo de la curva sera aquel en el que t aumenta.

Ejemplo:

OBSERVACIONES:

1. Como x(t) y y(t) son continuas en [a,b] y suponiendo que sus derivadas existen, entonces existe la derivada en esos extremos y la derivada de z es diferente de cero, la curva es curva suave.

2. Se llama curva suave por intervalos, a aquella que esta formada por curvas suaves.

3.Se llama curva simple o curva de Jordan aquella que no tiene puntos dobles.

Resumen Séptima Semana

Clase # 13

Martes  18 de marzo del 2014

DEFINICIÓN:

Sea:

una función continua, talque:

es una curva, se dice que la curva es diferenciable (es suave o regular o no presenta picos)  si se cumple:

Ejemplo:

Parametrizando:

Entonces tenemos:

Si la derivada de z es diferente de cero entonces la curva es diferenciable.

INTEGRALES DE LINEA EN COMPLEJOS:

Se lo realiza de forma parecida a la resolución de los reales pero para esto debemos conocer ciertas propiedades.

PROPIEDADES:

Si la curva es suave a intervalos y f(z) es una función continua:

Entonces:

Ejemplos:

CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO:

D es un dominio conexo si solamente contiene puntos de D en forma practica que no tiene huecos. 

PROPIEDADES:

sea la curva suave a intervalos de Z1 a Z2 en un dominio simplemente conexo D. Si f(z) es analítica en D y sea la derivada igual a la función en el dominio D, entonces:

Clase # 14

Viernes 21 de marzo del 2014

LONGITUD DE UNA CURVA:

Si la curva se representa por z=z(t), su longitud en el intervalo t[a,b], se calcula:

INTEGRALES CERRADAS:

La principal diferencia con las integrales de lineas es que la curva suave es una curva cerrada. Ademas se presentan los teoremas de Cauchy como propias de integrales de funciones complejas. para entender de mejor manera tenemos:

TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY:

• PROPIEDAD 1

Sea f(z) una función en D, un dominio simplemente conexo y una curva(curva cerrada simple), entonces se cumple:

• PROPIEDAD 2

Si f es analítica en su dominio simplemente conexo D , entonces la integral es una dependiente de la trayectoria.

Resumen Octava Semana

Clase # 15

Martes 25  de marzo del 2014

• PROPIEDAD 3:

Teorema de la deformación:

Sea f una función analítica en un dominio D excepto en z0 y sea landa y omega curvas cerradas simples que encierran a z0.

• PROPIEDAD 4:

Integral de Cauchy:

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea la curva landa una curva cerrada simple cualquiera en D, que en cierre a z0.

• PROPIEDAD 5:

Formula de la integral de Cauchi para derivadas superiores.

Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea la curva cualquiera cerrada y simple en D que encierre a z0 *f^n(z0).

Ejemplos:

Clase # 16

Viernes 28 de marzo del 2014

Segunda evaluación del bimestre.