Febrero

"Confía en ti mismo para conseguir tus objetivos. La espera puede hacerse larga, pero todo esfuerzo tiene su recompensa".

Resumen Primera Semana

Clase # 01

Martes 4 de febrero del 2014

En esta primera clase se realizó una presentación de la Ing. Mónica Mantilla y nos dio a conocer su objetivos alcanzar en este nuevo semestre, consiguientemente también nos indico todo lo referente a la materia y como la vamos a manejar durante este semestre.

De manera complementaria nuestra profesora nos invita a ser uso de la tecnología por medio de la creación de este bloc el cual nos permitirá usar esta herramienta para beneficio de nosotros, nos supo manifestar cuales eran los pasos y los procedimientos para la creación de esta plataforma virtual y del contenido que debe haber en ella.

Clase # 02

Viernes 7 de febrero del 2014

En esta clase aprendimos acerca de:

LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

Los números complejos son aquellos que están constituidos por una parte entera y una parte imaginaria es decir.

Ejemplo:

z = (3 + 2i)           

 Parte entera : 3        Parte Imaginaria: 2i

Para esto existe ciertas observaciones que hay que tomar en cuenta:

• Si la parte real es cero, entonces z es un numero imaginario puro : z= iy .
• Si la parte imaginaria es cero, entonces z es un número real : z = x .

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Para resolver la suma entre números complejos se suma la parte real con la parte real y la parte imaginaria con la parte imaginaria.

Si se tiene: 

z1 = x1 + iy1   ^  z2 = x2 + iy2

entonces:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2)

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES:

• Clausurativa : z1 + z2
• Conmutativo : z1 + z2 = z2 + z1
• Asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
• Inverso aditivo :  si z = x + iy entonces -z = -x-iy

Ejemplo: 

(3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Para la resolución de la multiplicación de los números complejos, se multiplica miembro con miembro.

Si se tiene: 

z1 = x1 + iy1   ^  z2 = x2 + iy2

entonces:

z1 . z2 = x1 . x2 + i (x2.y1) + i (x1.y2) - y1.y2 

z1 . z2 = (x1 . x2 - y1 . y2) + i (x2 . y1 + x1 . y2)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE VECTORES:

• Clausurativa : z1 . z2
• Conmutativo : z1 . z2 = z2 . z1
• Asociativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3)

Ejemplo:

(3 + 2i)(1 + 7i) = ((3 . 1 - 2 . 7) + (3 . 7 + 2 . 1)i)
                        = -11 + 23i

CONJUGADO ( z ) :

El conjugado de un numero complejo se obtiene al cambiar el signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número complejo

z = x + iy

seria :

z = x - iy

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para realizar la división de números complejos se multiplica por el conjugado en el numerador y en el denominador.

Si se tiene: 

z1 = x1 + iy1   ^  z2 = x2 + iy2

entonces:

Ejemplo:

Resumen Segunda Semana

Clase # 03

Martes 11 de febrero del 2014

EJERCICIOS CON NÚMEROS COMPLEJOS

Para la realización de los siguientes ejercicios se debe conocer ciertas propiedades:

Sean z , w EC, entonces cumple:

1. Z. Z = | z | cuadrado
2. | z . w | = | z. w |
3. ang (z.w) = ang z + ang w
4. ang(z/w) = ang z - ang w

Con estas propiedades podremos realizar ejercicios tales como:

1. Describir y construir la gráfica del lugar representado para la ecuación siguiente.

| z - i| = 2

sabemos que:

 z = x + iy

entonces tenemos:

Resultado: Representa una circunferencia de centro (0,1) y radio 2.

En el caso de las desigualdades tenemos un ejemplo como este:

1. 1<= | z + i | <= 2

Resultado: Representa la región de centro (0,-1) y radios 1 y 2, en el gráfico seria la parte de color azul.

Clase # 04

Viernes 14 de febrero del 2014

POTENCIA CON NÚMEROS COMPLEJOS (Teorema de Moivre)

La potencia de números complejos da como resultado otro numero complejo y para esto debemos tener en cuenta que:

Ejemplo:

RADICACIÓN CON NÚMEROS COMPLEJOS

La radicación al igual que en la potenciación al realizarlo se obtiene un numero complejo sabiendo que:

EXPONENCIALES DE COMPLEJOS

Para realizar los exponenciales hacemos uso de la serie de Mc Laury:

Para los complejos:

FORMULA DE EULER

Forma exponencial

Resumen Tercera Semana

Clase # 05

Martes 18 de febrero del 2014

LOGARITMOS EN COMPLEJOS:

El resultado del logaritmo de un complejo da como resultado un complejo, para esto partiremos de que:

En este tipo de ejercicios es muy importante que tengamos en cuenta que en los complejos no importa si usamos logaritmo natural o de base 10 ya que son lo mismo, a diferencia de los reales.

Propiedades:

1. Sea z,w números complejos distintos de cero, entonces:

2. log (z.w) = log z + log w

3. log (z/w) = log z - log w .  Si W es diferente de cero.

4. Para cualquier número racional, se cumple:

5. Exponencial compleja general. sean Z1 y Z2, números complejos siendo Z1 diferente de cero (0), entonces:

Ejemplo:

Clase # 06

Viernes 21 de febrero del 2014

FUNCIONES DE VARIABLES:

El resultado de una función de un complejo es otro complejo, ademas se las resuelve como en los reales, tenemos:

Entonces tenemos que :

Para visualizar ejemplos dirigirse al siguiente enlace:

Ejemplos Complejos (Enlace)

LIMITES:

Ejemplo:

Resumen Cuarta Semana

Clase # 07

Martes 25 de febrero del 2014

Limites con Complejos

Teorema:

Si w esta definida en una región D subconjunto de los complejos, se cumple:  

PROPIEDADES:

CONTINUIDAD:

f es continua,si cumple:

o también:

TIPOS DE DISCONTINUIDAD:

Evitable:

Es una función en la cual se puede re definir la misma, cuando existe el limite pero no es igual a el Z0.

Inevitable:

Es en la cual no existe el limite de función.

Ejemplo:

Clase # 08

Viernes 28 de febrero del 2014

DERIVADAS CON COMPLEJOS:

Sea U un subconjunto abierto del plano complejo, C, f(z) una función de U en C y z0 un punto de U; diremos que f(z) es derivable en z0 si existe el límite:

Al valor f '(z0) se le denomina la derivada de la función f en el punto z0.

Decimos que la función f es derivable en U si lo es para cada punto, z, de U. En tal caso, a la aplicación que hace corresponder a cada z de U su derivada se le llama función derivada, f‘(z), o simplemente derivada de f (z).

PROPIEDADES: