Abril

"Nunca se ha logrado nada sin entusiasmo."

(Emerson)

Resumen Novena Semana

Clase # 17

Martes 01  de abril del 2014

SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA

• Son muy similares a las sucesiones y series de variable real.
• La serie de Laurent son las únicas que se aplican para variable compleja.

SUCESIONES:

Una sucesión compleja es una función de los naturales sobre los complejos y se los expresa de la siguiente manera:

Los elementos de dicha sucesión son:

Es decir una sucesión compleja se denota por:

PROPIEDADES:

• Sea {Zn}= Xn + i Yn para cada numero positivo n, y sea L=a+bi, entonces:

Suponiendo que {Zn} --> L  y {Wn} --> K, entonces:

• {Zn} + {Wn} --> L+K
• a{Zn} -- > a.L  (Para todo a elemento de los complejos)
• {Zn} . {Wn}--> L . K
• {Zn} / {Wn} --> L/K

SERIES:

Si sumamos los elementos de una sucesión obtenemos una serie que se lo representa por:

La convergencia de la serie compleja la determinamos por intermedio de las series reales que la conforman.

PROPIEDADES:

Sea {Zn}= Xn + i Yn , entonces:

SERIES REALES CONVERGENTES:

SERIES REALES DIVERGENTES:

Clase # 18

Viernes 04 de abril del 2014

SERIES ESPECIALES:

1. SERIES GEOMÉTRICAS:

• Es absolutamente convergente si |Z|<1
• Es divergente si |Z|>1

2. SERIE ARMÓNICA:

Es divergente

3. SERIE P :

• Es convergente si p>1
• Es divergente si p <=1

EJEMPLOS:

Resumen Décima Semana

Clase # 19

Martes 08  de abril del 2014

SERIES DE POTENCIA:

Donde:

an : coeficientes

n: Potencia

Si: Z0=(0,0)

PROPIEDADES:

Sea Zn diferente de cero(0) y suponiendo que  , entonces:

1. Si 0<R<1 , entonces  es convergente.
2. si R>1, entonces  es divergente.

EJEMPLO:

SERIES DE TAYLOR:

Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, similar a la serie de funciones reales.

PROPIEDAD 1:

Si f es analítica en Z0, entonces f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por:

Si Z0=(0,0), entonces:

Series de Maclaurin

EJEMPLO:

El desarrollo mediante una serie de Taylor para una función analítica se le puede hacer por varios métodos.

• Por Sustitución
• Por Derivación
• Por Integración

Clase # 20

Viernes 11 de abril del 2014

EJEMPLO:

SERIES DE LAURENT:

Si f(z) no es analítica en Z0 no admite desarrollo mediante serie de Taylor, pero admite un desarrollo mediante la serie de Laurent.

PROPIEDAD 1:

Si la función es analítica en el anillo: r1 <|Z-Z0|<r2, entonces para z en este anillo:

EJEMPLO:

Resumen Onceava Semana

Clase # 21

Martes 15  de abril del 2014

Empiezan las exposiciones:

PUNTOS SINGULARES Y TEOREMA DEL RESIDUO:

Enlace:

Puntos singulares y teorema del residuo

Clase # 22

Viernes 18  de abril del 2014

No hubo asistencia por feriado de Semana Santa.

Resumen Doceava Semana

Clase # 23

Martes 22  de abril del 2014

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESIDUO:

Enlace:

Aplicaciones del teorema del residuo

Clase # 24

Viernes 25  de abril del 2014

Primera evaluación del Segundo Bimestre.

Resumen Treceava Semana

Clase # 25

Martes 29  de abril del 2014

TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y SU INVERSA:

Enlace:

Transformadas de Laplace y su inversa